Teilmengen gehören zu den wichtigsten Reservierungsprinzipien im Sudoku.
Die allgemeine Idee lautet:
N Zellen innerhalb einer Einheit sind für genau N Ziffern reserviert.
Aus dieser einen Beziehung entstehen Nackte und Versteckte Paare, Dreiergruppen und Vierergruppen.
Bei einer Nackten Teilmenge startest du bei den Zellen und untersuchst ihre Kandidatenvereinigung. Bei einer Versteckten Teilmenge startest du bei den Ziffern und untersuchst, auf wie wenige Zellen ihre möglichen Positionen beschränkt sind.
Beide Perspektiven beschreiben dieselbe N-gegen-N-Reservierung.
Kurzregel
Für eine Teilmenge der Größe N innerhalb einer Zeile, Spalte oder eines Blocks gilt:
N Zellen ↔ N ZiffernBei einer Nackten Teilmenge sind die ausgewählten N Zellen auf insgesamt N Kandidaten beschränkt. Diese N Ziffern können aus allen anderen Zellen der Einheit entfernt werden.
Bei einer Versteckten Teilmenge können N bestimmte Ziffern nur in N Zellen der Einheit stehen. Diese N Zellen sind für die Ziffern reserviert, daher lassen sich andere Kandidaten aus den reservierten Zellen entfernen.
Warum Sudoku-Teilmengen funktionieren
Nehmen wir drei Zellen einer Zeile, deren Kandidaten zusammen nur {2,5,8} ergeben.
Die drei Zellen müssen drei Werte erhalten. Da ihnen insgesamt nur drei Ziffern zur Verfügung stehen, werden 2, 5 und 8 diese drei Zellen in irgendeiner Reihenfolge belegen.
Keine andere Zelle derselben Zeile kann daher 2, 5 oder 8 enthalten.
Der Beweis hängt nicht davon ab, welche der drei Zellen konkret welche Ziffer bekommt. Entscheidend ist die eindeutige Reservierung:
3 Zellen ↔ 3 ZiffernDie Hidden-Perspektive liest denselben Zustand umgekehrt: Wenn die Ziffern 2, 5 und 8 in der Zeile ausschließlich in drei bestimmten Zellen vorkommen können, müssen diese drei Zellen genau diese drei Ziffern enthalten. Andere Kandidaten in den Zellen sind dann unmöglich.
Nackte Teilmengen: Starte bei den Zellen
Eine Nackte Teilmenge wird normalerweise zellenorientiert gefunden.
Suche eine kleine Gruppe ungelöster Zellen, deren gemeinsame Kandidatenvereinigung nicht mehr unterschiedliche Ziffern enthält als die Zahl der Zellen.
Für ein Nacktes Paar:
{3,7} {3,7}Zwei Zellen besitzen zusammen genau zwei Ziffern.
Für eine Nackte Dreiergruppe müssen die Kandidatenlisten nicht identisch sein:
{1,4} {1,7} {4,7}Die Vereinigung ist trotzdem nur {1,4,7}.
Bei einer Nackten Vierergruppe können vier Zellen die vier Ziffern noch ungleichmäßiger verteilen. Die richtige Frage lautet nicht „Sehen die Zellen gleich aus?“, sondern:
Wie viele verschiedene Kandidaten stehen diesen N Zellen insgesamt zur Verfügung?
Versteckte Teilmengen: Starte bei den Ziffern
Eine Versteckte Teilmenge wird meist ziffernorientiert gefunden.
Frage, wo bestimmte Ziffern innerhalb einer Einheit noch stehen dürfen.
Angenommen, 1, 4 und 7 kommen in einer Zeile nur noch in drei Zellen vor. Dann müssen diese drei Ziffern genau diese drei Zellen belegen — selbst wenn die Zellen zunächst so aussehen:
{1,3,4}
{1,4,7,9}
{2,4,7}Die Kandidaten 2, 3 und 9 können aus den drei reservierten Zellen entfernt werden, weil sie für {1,4,7} benötigt werden.
Gerade deshalb sind Versteckte Teilmengen oft schwerer zu erkennen: Vor der Eliminierung wirken die relevanten Zellen „unordentlich“.
Nackte und Versteckte Teilmengen sind zwei Ansichten derselben Reservierung
Die beiden Formen sind duale Perspektiven.
Eine Nackte Teilmenge betont:
Diese Zellen haben ungewöhnlich wenige mögliche Ziffern.
Eine Versteckte Teilmenge betont:
Diese Ziffern haben ungewöhnlich wenige mögliche Zellen.
In beiden Fällen werden N Zellen für N Ziffern reserviert.
Das liefert auch eine praktische Suchstrategie:
- siehst du mehrere Zellen mit kleinen Kandidatenlisten, suche nackt;
- siehst du Ziffern mit wenigen möglichen Positionen, suche versteckt.
Ein durchgearbeitetes Teilmengen-Beispiel
Nacktes Paar
Das Nackte Paar ist die kleinste und meist am leichtesten erkennbare Teilmenge.
Zwei Zellen derselben Einheit sind auf dieselben zwei Ziffern beschränkt. Diese beiden Ziffern gehören zusammen den beiden Paarzellen und können aus allen anderen ungelösten Zellen dieser Einheit entfernt werden.
Das Nackte Paar ist ein guter Einstieg, weil die Reservierung visuell sehr deutlich ist.
Verstecktes Paar
Beim Versteckten Paar wird die Suche umgedreht.
Zwei Ziffern können in einer Einheit nur noch in zwei Zellen vorkommen. Diese Zellen dürfen noch weitere Kandidaten enthalten, aber die zusätzlichen Kandidaten können entfernt werden.
Mit vollständiger Kandidatennotation lässt sich ein Verstecktes Paar oft leichter über die möglichen Positionen der Ziffern finden als über die Zelllisten selbst.
Nackte und Versteckte Dreiergruppen
Dreiergruppen erweitern dasselbe Prinzip von zwei auf drei.
Ein häufiger Fehler ist, drei identische Zellen mit jeweils drei Kandidaten zu verlangen. Das ist nicht nötig.
Für eine Nackte Dreiergruppe müssen die drei Zellen gemeinsam lediglich eine Kandidatenvereinigung aus genau drei Ziffern besitzen.
Für eine Versteckte Dreiergruppe müssen drei ausgewählte Ziffern gemeinsam auf genau drei Zellen beschränkt sein.
Mit wachsendem N wird das Muster optisch weniger offensichtlich. Deshalb ist der Reservierungsbeweis wichtiger als das Auswendiglernen bestimmter Kandidatenbilder.
Nackte und Versteckte Vierergruppen
Vierergruppen verwenden vier Zellen und vier Ziffern.
Logisch unterscheiden sie sich nicht von Paaren oder Dreiergruppen. Sie sind lediglich schwieriger zu entdecken und erzeugen manchmal weniger Eliminierungen, weil bereits ein großer Teil der Einheit zur Teilmenge gehört.
Eine Vierergruppe ist besonders interessant, wenn:
- der Kandidatenzustand dicht, aber vollständig und korrekt ist;
- Paare und Dreiergruppen ausgeschöpft sind;
- vier Zellen eine stark begrenzte Kandidatenvereinigung teilen;
- oder vier Ziffern innerhalb einer Einheit ungewöhnlich wenige Positionen besitzen.
So findest du Teilmengen effizient
Blinde Kombinationen aller Zellen sind ineffizient. Nutze die Struktur der Einheit.
1. Beginne mit stark eingeschränkten Einheiten
Zeilen, Spalten oder Blöcke mit weniger ungelösten Zellen sind leichter zu analysieren.
2. Starte für Nackte Teilmengen mit kleinen Kandidatenzellen
Bivalue- und Trivalue-Zellen sind natürliche Anker für Paare und Dreiergruppen.
3. Verfolge für Versteckte Teilmengen eingeschränkte Ziffern
Ziffern, die nur noch zwei, drei oder vier Positionen in der Einheit haben, sind die besten Kandidaten.
4. Stoppe, wenn die Zählung nicht mehr schließt
Drei Zellen mit fünf verschiedenen Kandidaten sind keine Nackte Dreiergruppe. Drei Ziffern, die in fünf Zellen vorkommen können, bilden keine Versteckte Dreiergruppe.
5. Scanne nach jeder Eliminierung neu
Eine Teilmenge ist oft nur ein Setup. Ihre Eliminierungen können direkt einen Single oder Locked Candidate erzeugen.
Der exakte Teilmengen-Test
Für eine Nackte Teilmenge der Größe N:
- wähle N ungelöste Zellen in einer Einheit;
- bilde die Vereinigung ihrer Kandidaten;
- die Vereinigung muss genau N Ziffern enthalten;
- diese N Ziffern sind für die N Zellen reserviert;
- eliminiere sie aus anderen Zellen derselben Einheit.
Für eine Versteckte Teilmenge der Größe N:
- wähle N Ziffern in einer Einheit;
- vereinige alle Zellen, in denen diese Ziffern vorkommen können;
- diese Vereinigung muss genau N Zellen enthalten;
- die N Zellen sind für die N Ziffern reserviert;
- entferne andere Kandidaten aus den reservierten Zellen.
Eine Teilmenge muss die konkrete Reihenfolge nicht lösen
Teilmengen sind Reservierungsbeweise, keine direkten Zuordnungsbeweise.
Ein Nacktes Paar
{2,9} {2,9}sagt dir nicht, welche Zelle 2 und welche 9 wird. Es beweist nur, dass diese beiden Zellen 2 und 9 untereinander verbrauchen.
Das reicht für Eliminierungen in den übrigen Zellen. Gleiches gilt für Dreier- und Vierergruppen.
Teilmengen können in Zeilen, Spalten und Blöcken auftreten
Jeder Teilmengenbeweis ist lokal zu einer Einheit.
Wenn ein Nacktes Paar in Zeile 4 bewiesen ist, gelten die Paar-Eliminierungen für Zeile 4.
Du darfst nicht automatisch zusätzlich im Block eliminieren, nur weil eine der Paarzellen auch zu diesem Block gehört. Eine Blockeliminierung ist nur dann erlaubt, wenn dieselbe Reservierung auch innerhalb des Blocks gültig ist.
Diese Einheitenlokalität verhindert viele falsche Eliminierungen.
Locked Subsets und Überschneidung mit Schnittmengen
Manche Quellen verwenden Begriffe wie Locked Pair oder Locked Triple, wenn eine Teilmenge zugleich stark mit einer Block-Linien-Schnittmenge interagiert.
Für VeyraPlay ist die saubere konzeptionelle Trennung:
- Teilmengen beschreiben eine N-Zellen-/N-Ziffern-Reservierung;
- Locked Candidates beschreiben die räumliche Beschränkung einer einzelnen Ziffer an einer Block-Linien-Schnittstelle.
Ein Raster kann beide Beschreibungen gleichzeitig zulassen. Du solltest aber immer sagen können, welche konkrete Einheit und Reservierung deine Eliminierung beweist.
Häufige Teilmengen-Fehler
Identische Kandidatenlisten verlangen
Nur Nackte Paare sehen häufig wie zwei identische Bivalue-Zellen aus. Dreier- und Vierergruppen dürfen unterschiedliche Kandidatenkombinationen besitzen, solange die Vereinigung die richtige Größe hat.
Zellen aus verschiedenen Einheiten zählen
Die ausgewählten Zellen müssen gemeinsam in einer Zeile, Spalte oder einem Block liegen.
Innerhalb einer Nackten Teilmenge eliminieren
Nackte Teilmengen entfernen die reservierten Ziffern aus anderen Zellen derselben Einheit.
Außerhalb einer Versteckten Teilmenge eliminieren
Versteckte Teilmengen entfernen andere Kandidaten aus den reservierten Zellen.
Unvollständigen Kandidaten vertrauen
Ein fehlender legaler Kandidat kann eine falsche Teilmenge vortäuschen. Prüfe den Kandidatenzustand, bevor du fortgeschritten eliminierst.
Nach Vierergruppen suchen, bevor offensichtliche Paare geprüft sind
Nutze die kleinste nützliche Logik zuerst. Große Teilmengen sind schwerer zu erkennen und oft unnötig.
Teilmengen vs. Locked Candidates
Beide können Kandidaten eliminieren, ohne sofort eine Zelle zu lösen.
Locked Candidates verwenden eine Positionsbeschränkung einer Ziffer zwischen Block und Linie.
Teilmengen reservieren N Ziffern für N Zellen innerhalb einer Einheit.
Ähnliche Diagramme machen die Beweise nicht austauschbar.
Teilmengen vs. Fish
Teilmengen arbeiten innerhalb einer Einheit und betrachten mehrere Ziffern beziehungsweise mehrere Zellen.
Fish verfolgen eine Ziffer über mehrere Zeilen und Spalten mit Base und Cover Sets.
Beide Familien enthalten Zählargumente, aber sie zählen unterschiedliche Objekte.
Wann solltest du Vierergruppen lernen?
Eine sinnvolle Reihenfolge ist:
- Nacktes Paar;
- Verstecktes Paar;
- Nackte Dreiergruppe;
- Versteckte Dreiergruppe;
- Nackte Vierergruppe;
- Versteckte Vierergruppe.
Du musst nicht warten, bis jede frühere Form vollkommen automatisch ist. Aber die N-für-N-Reservierung sollte verstanden sein, bevor du N erhöhst.
FAQ
Was ist eine Teilmenge im Sudoku?
Eine Teilmenge ist eine N-für-N-Reservierung in einer Einheit: N Zellen sind für N Ziffern reserviert. Daraus folgen Eliminierungen außerhalb der Zellen bei Nackten oder innerhalb der Zellen bei Versteckten Teilmengen.
Was ist der Unterschied zwischen Nackter und Versteckter Teilmenge?
Nackte Teilmengen werden meist über kleine Kandidatenlisten der Zellen gefunden. Versteckte Teilmengen über Ziffern mit wenigen möglichen Positionen. Beide beschreiben dieselbe Reservierung aus entgegengesetzten Richtungen.
Sind Paare, Dreiergruppen und Vierergruppen alles Teilmengen?
Ja. Paar bedeutet Größe 2, Dreiergruppe Größe 3 und Vierergruppe Größe 4. Jede Größe kann nackt oder versteckt sein.
Kann eine Nackte Dreiergruppe eine Zelle mit nur zwei Kandidaten enthalten?
Ja. Die drei Zellen müssen nicht jeweils drei Kandidaten besitzen. Nur ihre gemeinsame Kandidatenvereinigung muss genau drei Ziffern enthalten.
Lösen Teilmengen Zellen direkt?
Normalerweise nicht. Sie eliminieren Kandidaten. Diese Eliminierungen können anschließend Singles oder andere einfachere Schritte erzeugen.
Können Teilmengen Zellen aus verschiedenen Zeilen oder Blöcken verwenden?
Die ausgewählten Zellen müssen eine gemeinsame Einheit teilen. Zellen ohne gemeinsame Zeile, Spalte oder gemeinsamen Block bilden in diesem Sinn keine Standard-Teilmenge.