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Une XY-Chain est une chaîne Sudoku construite, dans sa forme standard, entièrement avec des cases bivalue — des cases qui contiennent exactement deux candidats.
La valeur candidate change au fur et à mesure que la chaîne progresse.
Chaque étape alterne entre :
- un Strong Link à l’intérieur d’une case bivalue ;
- un Weak Link entre deux cases paires qui partagent un candidat.
La première et la dernière case contiennent toutes les deux le même candidat d’extrémité Z.
La chaîne prouve :
Au moins une des deux extrémités doit être Z.
Le candidat Z peut donc être éliminé de toute case extérieure qui voit les deux cases d’extrémité.
XY-Chain généralise la même propagation par cases bivalue que l’on rencontre d’abord dans XY-Wing.
Structure de base d’une XY-Chain
Considérons quatre cases bivalue :
A {3,9}
B {9,8}
C {8,2}
D {2,3}Pour que cette suite forme une chaîne :
- A voit B ;
- B voit C ;
- C voit D ;
- chaque paire de cases voisines partage le candidat de liaison indiqué dans la séquence.
Le candidat 3 est le chiffre d’extrémité puisqu’il apparaît dans A et D.
Suivons maintenant les implications.
Si A n’est pas 3
A est bivalue, donc :
A = 9.
A voit B sur le candidat 9, donc :
B ≠ 9.
B est bivalue, donc :
B = 8.
B voit C sur 8 :
C ≠ 8 → C = 2.
C voit D sur 2 :
D ≠ 2 → D = 3.
Donc :
A n’est pas 3 → D = 3.
Lisez maintenant la même chaîne depuis l’autre extrémité :
D n’est pas 3 → A = 3.
A et D ne peuvent donc pas être tous les deux différents de 3.
Au moins une extrémité contient 3.
Pourquoi chaque case d’une XY-Chain standard est bivalue
La chaîne dépend d’une inférence Strong à l’intérieur de chaque case.
Pour :
{3,9}si 3 est faux, 9 est forcé.
Mais si la case contenait :
{3,9,5}alors non-3 laisserait :
- 9 ;
- ou 5.
Aucun partenaire individuel ne serait forcé.
La propagation XY-Chain standard serait alors rompue.
Les AIC plus générales peuvent traverser des structures plus riches, mais ce ne sont pas des XY-Chains standard.
Les deux types de liens d’une XY-Chain
XY-Chain devient beaucoup plus facile à vérifier lorsqu’on sépare clairement les deux sources de liens.
Strong Link à l’intérieur d’une case
Une case bivalue {X,Y} contient exactement l’un de ses deux candidats.
Donc :
pas X → Y
pas Y → XWeak Link entre les cases
Supposons :
A {3,9}
B {9,8}et que A voie B.
Les deux cases ne peuvent pas contenir 9 en même temps puisqu’elles partagent une unité.
Donc :
A = 9 → B ≠ 9Cette relation inter-case sur le candidat 9 est Weak.
Le Strong Link interne de B transforme ensuite B ≠ 9 en B = 8.
La répétition du motif Weak-entre / Strong-dans-la-case permet à la valeur candidate de « marcher » à travers la grille.
L’élimination par les extrémités
Supposons que la chaîne commence dans A {Z,X} et se termine dans F {Y,Z}.
La preuve établit :
A = Z ou F = Z.
Prenons maintenant une cible extérieure contenant le candidat Z.
Si la cible voit A, elle ne peut pas être Z dans le cas A = Z.
Si elle voit également F, elle ne peut pas être Z dans le cas F = Z.
Ces deux cas couvrent tous les états valides des extrémités.
Donc :
le candidat Z de la cible est faux.
La cible n’a pas besoin de voir les cases internes de la chaîne.
Elle doit voir les deux cases d’extrémité pour le chiffre Z partagé.
Exemple sur une grille, étape par étape
Avant de lire la grille, vérifiez :
- que chaque case de la chaîne est bivalue ;
- que chaque paire de cases consécutives se voit ;
- que les cases consécutives partagent bien le candidat de liaison prévu ;
- que les cases d’extrémité partagent le candidat Z ;
- que la cible extérieure Z voit les deux extrémités.
XY-Wing est l’introduction courte la plus familière
XY-Wing utilise trois cases bivalue :
Pivot {X,Y}
Pince 1 {X,Z}
Pince 2 {Y,Z}La logique peut être écrite comme une courte XY-Chain allant d’une extrémité Z à l’autre à travers les relations du pivot.
Cela donne une progression d’apprentissage naturelle :
XY-Wing
→ comprendre la propagation bivalue
→ prolonger le chemin à travers davantage de cases bivalue
→ XY-ChainSi un motif à trois cases est clairement un XY-Wing, utilisez ce nom familier. XY-Chain devient utile lorsque le chemin contient davantage de cases bivalue ou une géométrie moins évidente.
XY-Chain vs X-Chain
Les deux techniques utilisent l’inférence alternée et peuvent se terminer par le même type d’élimination sur un pair commun.
X-Chain
- un seul chiffre candidat reste fixe ;
- les Strong Links viennent généralement de paires conjuguées dans les unités ;
- les Weak Links relient des candidats pairs du même chiffre.
XY-Chain
- les chiffres candidats changent le long du chemin ;
- les Strong Links se trouvent dans les cases bivalue ;
- les Weak Links relient des cases paires grâce à un candidat partagé.
Un raccourci mental utile est :
X-Chain suit un chiffre. XY-Chain suit des cases bivalue.
XY-Chain vs Remote Pair
Un Remote Pair utilise une chaîne de cases bivalue contenant toutes la même paire de candidats, par exemple {2,8} répétée le long du chemin.
XY-Chain permet à la paire de changer d’une case à l’autre :
{3,9} → {9,8} → {8,2} → {2,3}Remote Pair peut donc être vu comme une structure spécialisée à paire répétée, tandis que XY-Chain est une chaîne bivalue plus générale à candidats changeants.
Remote Pair appartient à la couche d’expansion.
Comment trouver des XY-Chains
Les XY-Chains se cherchent plus facilement case d’abord.
1. Mettre en évidence les cases bivalue
Une zone dense en cases bivalue forme un meilleur graphe candidat qu’une grille qui n’en contient que quelques-unes isolées.
2. Choisir une case de départ
Supposons que la case de départ soit {3,9}.
Choisissez 3 comme candidat que vous souhaitez retrouver à l’autre extrémité.
3. Suivre l’autre candidat
Cherchez une case bivalue paire contenant 9.
4. Passer à l’autre candidat de cette case
Si la nouvelle case est {9,8}, la chaîne transporte maintenant 8 vers l’avant.
5. Trouver une case bivalue paire contenant 8
Continuez de la même manière.
6. S’arrêter lorsque le candidat d’extrémité revient
Vous recherchez une dernière case bivalue contenant 3.
7. Vérifier les pairs communs des deux extrémités
Si un candidat extérieur 3 voit les deux extrémités, la chaîne peut être productive.
8. Vérifier toute la chaîne dans les deux sens
Faites-le avant toute élimination.
La géométrie ne compte qu’à travers la visibilité
Les XY-Chains n’exigent aucune forme visuelle fixe.
Deux cases consécutives peuvent se connecter via :
- une ligne ;
- une colonne ;
- un bloc.
Ce qui compte est que chaque candidat partagé crée un Weak Link valide parce que les deux cases se voient.
Deux cases bivalue qui partagent un candidat mais ne sont pas paires ne sont pas connectées dans une XY-Chain.
La simple suite des candidats ne suffit jamais.
Éviter de boucler sans but
Un réseau de cases bivalue peut rapidement se ramifier.
Sans discipline, la recherche manuelle de XY-Chains devient une exploration de graphe en profondeur qui apporte peu de valeur à un humain.
Préférez :
- des chemins courts ;
- des extrémités proches de nombreuses cibles possibles ;
- des candidats qui reviennent après quelques cases ;
- des relations de visibilité clairement vérifiables.
Arrêtez-vous lorsque :
- le chiffre d’extrémité revient et offre une cible ;
- le chemin devient difficile à vérifier ;
- vous revisitez le même état candidat ;
- ou une technique plus simple devient disponible.
Le but est une déduction, pas une traversée exhaustive du graphe.
Une XY-Chain peut-elle répéter des cases ou des états candidats ?
Une chaîne manuelle utile ne doit pas revenir sur le même état logique uniquement pour devenir plus longue.
Revisiter un état signifie généralement :
- que vous avez créé un cycle ;
- que le chemin peut être raccourci ;
- ou que vous vous dirigez vers une interprétation de boucle/AIC plus générale.
Pour la XY-Chain ouverte standard enseignée ici, choisissez un chemin simple d’une extrémité à l’autre.
Des Strong Links entre cases de la chaîne ne l’invalident pas
Parfois, deux cases bivalue consécutives partagent un candidat dans une unité où ce candidat n’apparaît que deux fois.
La relation inter-case est donc Strong et Weak.
La XY-Chain a besoin du rôle Weak à cet endroit :
l’un vrai → l’autre faux.
Une relation qui est aussi Strong peut parfaitement fournir ce rôle Weak, puisque les deux candidats ne peuvent pas être vrais simultanément.
C’est la même flexibilité que dans les autres chaînes alternées.
Une XY-Chain valide peut être improductive
Vous pouvez relier correctement plusieurs cases bivalue et retrouver le candidat d’extrémité Z sans qu’aucun candidat extérieur Z ne voie les deux extrémités.
L’élimination standard sur pair commun n’a alors aucune cible.
La chaîne est logiquement valide mais actuellement improductive.
N’éliminez jamais un candidat d’une case qui ne voit qu’une seule extrémité.
Erreurs fréquentes
Utiliser une case trivalue
Une XY-Chain standard exige l’inférence Strong paire par paire à l’intérieur de chaque case de la chaîne.
Relier des cases qui ne se voient pas
Partager un candidat ne suffit pas. Les cases consécutives doivent être paires pour que ce candidat crée le Weak Link nécessaire.
Oublier quel candidat transporte la chaîne
Dans chaque case bivalue, vous entrez par un candidat et ressortez par l’autre.
Finir sur un autre candidat
L’élimination standard par extrémités exige que la première et la dernière case partagent le même candidat Z.
Éliminer une cible qui ne voit qu’une extrémité
Le scénario où l’autre extrémité est vraie laisserait la cible possible.
Explorer tous les chemins bivalue de la grille
Préférez des chaînes courtes et intentionnelles avec des cibles d’extrémité plausibles.
Traiter XY-Chain comme une forme géométrique fixe
C’est un chemin d’inférence, pas un gabarit visuel.
Exercice de reconnaissance
Commencez avec :
{3,9}Choisissez 3 comme candidat d’extrémité.
Puis récitez le chemin :
pas 3 → 9 ; 9 élimine le 9 d’un pair → autre valeur ; cette valeur élimine la même valeur chez un pair → autre valeur…
Continuez jusqu’à atteindre une autre case contenant 3.
Puis demandez :
Quels candidats 3 voient les deux cases d’extrémité ?
Si vous ne pouvez pas énoncer chaque relation de visibilité sur le candidat partagé, la chaîne n’est pas encore prouvée.
FAQ
Qu’est-ce qu’une XY-Chain au Sudoku ?
Une XY-Chain est une chaîne de cases bivalue dans laquelle les Strong Links opèrent à l’intérieur des cases et les Weak Links relient des cases paires grâce à des candidats partagés.
Toutes les cases d’une XY-Chain doivent-elles avoir exactement deux candidats ?
Oui pour la XY-Chain standard enseignée ici. Des structures AIC plus générales peuvent utiliser des nœuds plus riches, mais il s’agit d’autres techniques.
Une XY-Chain peut-elle utiliser beaucoup de chiffres différents ?
Oui. La valeur candidate peut changer à chaque case, tant que chaque paire consécutive forme la connexion Weak requise via un candidat partagé.
XY-Wing est-il une XY-Chain ?
Il peut être représenté comme la forme introductive courte à trois cases de la logique XY-Chain.
Quel candidat est éliminé ?
Le candidat partagé par les deux cases d’extrémité, dans toute case extérieure qui voit ces deux extrémités.
Les cases d’extrémité doivent-elles se voir ?
Non. L’élimination dépend du fait que la cible voie les deux extrémités. Les extrémités elles-mêmes peuvent être éloignées.
Quelle est la différence entre XY-Chain et Remote Pair ?
Remote Pair répète les mêmes deux candidats dans toutes ses cases. XY-Chain permet aux paires candidates de changer le long du chemin.
Que faut-il apprendre ensuite ?
Après X-Chain et XY-Chain, la généralisation naturelle est Alternating Inference Chains (AIC), qui permet de mélanger plus librement valeurs candidates et structures de liens.