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Un XYZ-Wing est un motif Wing de trois cases construit à partir de :
- un pivot
{X,Y,Z}; - une pince A
{X,Z}; - une pince B
{Y,Z}.
Les deux pinces voient le pivot.
La conclusion essentielle est :
Z doit être vrai dans le pivot ou dans l'une des deux pinces.
On peut donc supprimer le candidat Z de toute case qui voit les trois cases du motif.
Cette exigence de visibilité à trois cases est la différence pratique qui définit le XYZ-Wing par rapport au XY-Wing.
XYZ-Wing en un coup d'œil
Pivot {X,Y,Z}
Pince A {X,Z}
Pince B {Y,Z}Dans le motif standard :
- le pivot possède exactement trois candidats X, Y et Z ;
- les deux pinces sont bivalue ;
- les deux pinces voient le pivot ;
- Z apparaît dans le pivot et dans les deux pinces ;
- une cible valide contient Z ;
- la cible voit le pivot et les deux pinces.
Les lettres indiquent des rôles de candidats. Elles peuvent représenter n'importe quels trois chiffres Sudoku distincts.
Pourquoi le XYZ-Wing fonctionne
Prenons ce motif concret :
- pivot
{2,7,5}; - pince A
{2,5}; - pince B
{7,5}.
Le pivot devra finalement être 2, 7 ou 5.
Si le pivot vaut 2
La pince A voit le pivot et ne peut donc pas être 2 elle aussi.
La pince A doit alors être 5.
Si le pivot vaut 7
La pince B voit le pivot et ne peut donc pas être 7 elle aussi.
La pince B doit alors être 5.
Si le pivot vaut 5
Z est alors vrai directement dans le pivot.
Ces trois cas couvrent toutes les valeurs possibles du pivot.
Par conséquent, dans toute solution, au moins l'une de ces trois cases vaut 5.
Tout candidat 5 qui voit les trois cases est impossible.
Pourquoi la cible doit voir le pivot
C'est le contrôle qui évite la plupart des éliminations XYZ-Wing invalides.
Dans un XY-Wing, le pivot est {X,Y} et ne contient pas Z. Z doit donc être vrai dans l'une des pinces.
Dans un XYZ-Wing, le pivot est {X,Y,Z}. Une branche parfaitement valide est :
pivot = Z.
Si une cible proposée voit les deux pinces mais pas le pivot, elle ne serait pas en conflit avec cette branche.
La cible doit donc voir :
- la pince A ;
- la pince B ;
- le pivot.
Z est absent du pivot, donc une pince doit contenir Z.
Z peut être vrai dans le pivot ; voir seulement les pinces ne suffit donc pas.
Une bonne habitude consiste à repérer l'intersection des cases liées aux trois cellules avant de réaliser toute élimination.
Exemple pas à pas sur la grille
Une séquence de preuve fiable est la suivante :
- identifiez le pivot trivalue ;
- attribuez à ses candidats les rôles X, Y et Z ;
- trouvez une pince
{X,Z}qui voit le pivot ; - trouvez une pince
{Y,Z}qui voit le pivot ; - vérifiez que Z est commun aux trois cases du motif ;
- croisez les zones de visibilité du pivot et des deux pinces ;
- éliminez Z uniquement des cibles situées dans cette intersection.
Si une cible tentante ne voit que les deux pinces, rejetez-la.
Les pinces doivent-elles se voir entre elles ?
Le motif standard n'exige pas de relation générale de visibilité entre les deux pinces.
Chaque pince doit voir le pivot, car c'est ce qui permet aux branches X et Y de forcer Z.
La cible d'élimination, en revanche, doit voir les trois cellules puisque Z peut être vrai dans n'importe laquelle d'entre elles.
Comme pour le XY-Wing, la technique est définie par des relations logiques et non par un dessin figé.
Comment trouver un XYZ-Wing
Le XYZ-Wing se cherche naturellement case par case, mais contrairement au XY-Wing, les meilleurs points de départ sont les cases trivalue.
1. Trouvez un pivot prometteur {X,Y,Z}
Une case trivalue n'est qu'un pivot potentiel. La plupart des cases trivalue ne forment aucun XYZ-Wing.
2. Cherchez dans ses cases liées des sous-ensembles bivalue
Cherchez d'abord une case {X,Z}.
Puis cherchez une autre case liée au pivot de forme {Y,Z}.
3. Identifiez le candidat commun Z
Z est le chiffre présent dans :
- le pivot ;
- la pince A ;
- la pince B.
4. Trouvez la zone de visibilité commune aux trois cases
Une cible doit voir les trois cellules du motif.
Cette zone est généralement bien plus petite que l'intersection des deux pinces utilisée par le XY-Wing.
5. Vérifiez si cette zone contient des candidats Z
S'il n'existe aucun Z dans la zone commune, le motif ne produit aucune élimination utile.
6. Vérifiez les trois cas du pivot
Testez pivot = X, pivot = Y et pivot = Z.
L'élimination n'est valide que si chaque cas rend Z vrai dans une case visible depuis la cible.
Pourquoi le XYZ-Wing est souvent plus difficile à repérer
La preuve logique est courte, mais la reconnaissance peut être nettement plus difficile que pour le XY-Wing.
Plusieurs raisons l'expliquent :
- le pivot possède trois candidats au lieu de deux ;
- il existe davantage d'affectations possibles pour X, Y et Z ;
- l'intersection utile des cases liées est plus petite ;
- la cible doit voir trois cases du motif au lieu de deux ;
- de nombreuses structures visuellement plausibles ne donnent aucune élimination réelle.
C'est un bon exemple de la différence entre complexité de la preuve et complexité de reconnaissance.
Une technique peut avoir une preuve simple tout en étant difficile à voir dans une grille de candidats chargée.
Géométrie du XYZ-Wing
Il n'existe pas une orientation unique obligatoire.
Le pivot peut voir une pince par une ligne et l'autre par un bloc, par une colonne et un bloc, ou selon toute autre combinaison valide d'unités Sudoku.
Au lieu de mémoriser une forme, vérifiez :
- les rôles des candidats ;
- la visibilité pivot-vers-pinces ;
- la visibilité à trois cases pour la cible.
Ces trois contrôles définissent le motif plus sûrement que son apparence.
XYZ-Wing vs XY-Wing
| Caractéristique | XY-Wing | XYZ-Wing |
|---|---|---|
| Pivot | {X,Y} | {X,Y,Z} |
| Pinces | {X,Z} / {Y,Z} | {X,Z} / {Y,Z} |
| Z peut être vrai dans le pivot | Non | Oui |
| La cible doit voir | Les deux pinces | Pivot + les deux pinces |
| Recherche du pivot | Cases bivalue | Cases trivalue |
Le Z supplémentaire dans le pivot XYZ n'est pas un détail cosmétique. C'est précisément ce qui réduit la zone d'élimination autorisée.
XYZ-Wing vs Triplet nu
Les deux motifs peuvent utiliser trois cases dont les candidats combinés sont X, Y et Z.
Triplet nu
Les trois cases partagent une même unité et ces trois chiffres sont réservés à ces trois cases.
Les éliminations se font dans les autres cases de cette unité commune.
XYZ-Wing
La preuve repose sur la structure pivot-et-pinces et sur le fait que Z doit être vrai dans l'une des trois cases du motif.
Si les trois cases se trouvent dans une même unité et forment un Triplet nu valide, privilégiez cette explication plus simple.
XYZ-Wing vs WXYZ-Wing
Un WXYZ-Wing est une structure plus large de la famille des Wings, fondée sur quatre chiffres, que l'on rencontre dans des systèmes de résolution plus experts.
Ce n'est pas simplement un XYZ-Wing auquel on aurait ajouté un candidat quelconque.
Dans le corpus actuel, la frontière utile est :
- XYZ-Wing = motif standard à trois cases
{XYZ}+{XZ}+{YZ}; - les Wings élargis plus complexes appartiennent au niveau expert ultérieur.
Cette distinction permet de garder ce Guide précis sans laisser croire que la famille des Wings s'arrête au XYZ-Wing.
Erreurs fréquentes avec le XYZ-Wing
Commencer avec un pivot bivalue
Cela relève du XY-Wing.
Utiliser des pinces qui ne voient pas le pivot
Les deux relations pince-vers-pivot sont obligatoires.
Éliminer depuis une cible qui ne voit que les pinces
Cette élimination échoue lorsque le pivot lui-même devient Z.
Mal identifier Z
Z est le candidat partagé par les trois cases du motif.
Supposer que les pinces doivent se voir entre elles
La preuve standard ne requiert pas cette relation.
Considérer tout pivot {XYZ} avec deux cases bivalue proches comme un Wing
La structure des rôles doit être exactement compatible avec {XZ} et {YZ}.
Oublier qu'il peut ne pas exister de cible
Un motif structurellement valide peut être improductif si aucun Z externe ne voit les trois cases.
Exercice pratique de reconnaissance du XYZ-Wing
Choisissez une case trivalue {X,Y,Z}.
Demandez-vous ensuite :
Puis-je trouver une case liée qui retire Y de l'ensemble du pivot, laissant{X,Z}, puis une autre qui retire X, laissant{Y,Z}?
Si oui, posez la question finale :
Existe-t-il un candidat Z qui voit le pivot et les deux pinces ?
Cette dernière question distingue un XYZ-Wing utile d'une simple configuration intéressante.
FAQ
Quel candidat est éliminé dans un XYZ-Wing ?
Z, le candidat partagé par le pivot et les deux pinces.
Pourquoi la cible doit-elle voir le pivot ?
Parce que le pivot lui-même peut être Z. Une cible qui ne voit pas le pivot ne serait pas contredite dans cette branche.
Les deux pinces sont-elles bivalue ?
Dans le XYZ-Wing standard présenté ici, oui : {X,Z} et {Y,Z}.
Les pinces doivent-elles se voir entre elles ?
Non. Les deux doivent voir le pivot ; la cible d'élimination doit voir les trois cases du motif.
Le XYZ-Wing peut-il produire plusieurs éliminations ?
Oui. Tous les candidats Z situés dans la zone commune de visibilité des trois cases peuvent être supprimés.
Le XYZ-Wing est-il toujours plus difficile que le XY-Wing ?
Pas nécessairement. Sa preuve reste courte, mais sa géométrie plus stricte et son pivot trivalue le rendent souvent plus difficile à repérer.
Que faut-il apprendre ensuite ?
Passez aux Strong Links et Weak Links, puis étudiez le W-Wing, où un Strong Link relie deux cases bivalue identiques au lieu d'utiliser un pivot XY.